洛必达法则

L'Hôpital's rule
在一定条件下，通过对分子分母分别求导，再求极限来确定未定式 $\frac{0}{0}$ 的值的方法。

一、基本定理

定理 1

当 $x \to a$ 时，函数 $f (x)$ 及 $F (x)$ 都趋于零
在点 $a$ 的某去心邻域内， $f^{'} (x)$ 及 $F^{'} (x)$ 都存在且 $F^{'} (x) \neq 0$
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)}$ 存在

则有：

\begin{array}{r} lim_{x \to a} \frac{f (x)}{F (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)} \end{array}

定理 2

当 $x \to \infty$ 时，函数 $f (x)$ 及 $F (x)$ 都趋于零
当 $| x | > N$ ， $f^{'} (x)$ 及 $F^{'} (x)$ 都存在且 $F^{'} (x) \neq 0$
$lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)}$ 存在 (或为无穷大)

则有：

\begin{array}{r} lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{F (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)} \end{array}

证明

当 $x \to a$ 时的极限与 $f (a)$ 和 $F (a)$ 都无关，可以假定 $f (a) = F (a) = 0$ , 根据柯西中值定理有：

\begin{array}{r} \frac{f (x)}{F (x)} = \frac{f (x) - f (a)}{F (x) - F (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{F^{'} (ξ)} \end{array}

实际应用

如果不是未定式则不能使用洛必达法则
如果不满足洛必达法则的条件，极限不一定不存在。
类似于 $0 \cdot \infty$ $\infty - \infty$ $0^{0}$ $\infty^{0}$ 都可转化为 $\frac{0}{0}$ 的未定式， $\infty - \infty$ 可以通分， $0^{0}$ 可以取对数
可以和其他求极限的方法一起使用，例如如果求导较为繁琐，可以先换为等价无穷小

Stolz 公式

对于某些 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的数列极限很有效
$lim_{n \to \infty} y_{n} = + \infty, lim_{n \to \infty} x_{n} = + \infty$

\begin{array}{r} lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} \end{array}